로켓방정식

가장 기본적인 로켓방정식에 대해 알아봅시다!

간단한 미적분 지식만 있으면 모두가 이해할 수 있다!

우리는 배를 타고 갈때 뭔가를 뒤로 집어던지면 추진력을 얻는다는 것을 알고 있죠.

바로 운동량 보존 법칙때문에 그렇습니다.

똑같은 원리를 적용시켜서 우주선을 가속시킨다고 생각해 볼게요!

초기질량이 M인 우주선에서 연료를 u의 속도로 뒤로 집어던져서 추진력을 얻는다고 생각해 봅시다.

그리고 t초일 때의 우주선과 그로부터 아주 적은 시간인 Δt초가 지난 우주선의 모습을 상상해 볼게요.

Δ가 붙은 것들은 아주 작은 양이라고 생각하시면 됩니다.

질량과 속도는 모두 시간에 따라 변화하니까 함수로 표기했습니다.

그러면 질량: m(t) = M - bt (b는 연료소모속도)라고 할 수 있죠.

뒤로 던진 질량의 속도가 v-u인 이유는 v의 속력으로 움직이는 우주선에서 뒤로 u의 속력으로 던졌기 때문입니다!

우리의 목표는 우주선의 속력인 v(t)를 구하는 겁니다!

운동량은 (질량) x (속도)로 정의됩니다.

그리고 운동량은 작용, 반작용의 법칙에 의해 외력이 없을 시에 보존됩니다.

그럼 운동량의 변화량을 구해봅시다.

운동량은 보통 p로 표기합니다.

아까 말했듯이 운동량은 보존되므로 변화량은 없습니다!

이 결과를 Δt로 나눠봅시다!

여기서 나온 결과를 Δv/Δt로 정리해 봅시다.

우리의 목적은 v(t)를 구하는 것이기 때문이죠!

거의 다 왔습니다.

이제 양 변을 적분해봅시다.

정지상태에서 가속됐기 때문에 초기속도는 0 입니다.

이제 끝났습니다. 적분상수를 원래의 식에 넣기만 하면!

완성!

완성된 방정식을 활용해 봅시다!

연료 분출속도를 약 250m/s

연료 소모속도를 약 500kg/s

로켓의 무게를 2000톤이라 가정해 봅시다!

속도가 증가하다가 4000초에는 무한히 증가하는 모습을 볼 수 있습니다

질량이 0으로 가기 때문이죠!

하지만 로켓의 무게 전부를 연료로 채울 수는 없기 때문에 어떠한 지점에서 연료소모를 멈출 것입니다!

또한 우리는 이 그래프로부터 가속도가 계속 증가한다는 것을 알 수 있습니다.

로켓의 무게가 점점 가벼워지기 때문이죠!

이것으로부터 우리는 무게는 가벼워 질수록, 분출속도는 클수록 로켓이 더 빨라진다는 사실을 알 수 있습니다!

감사합니다 땡큐!