기대와 다르게 행동하는 수학의 패턴들

제가 종종 즐겨보는 수학 유튜브 3blue1brown

차분한 목소리와 훌륭한 시각화로 다양한 수학을 잘 설명해주는걸로 유명한데

노래도 잘해서 깜짝 놀랐음. 마치 수학판 아메리칸 궤도랄까.

수학의 여러 패턴들이 실제 기대와 많이 다르게 진행된다는 점을 노래로 불렀는데 재밌어서 가져와봤어요.

원곡은 루퍼스 웨인라이트의 할렐루야, 슈렉 1편의 ost로도 유명한데

이를 How they fool ya, 그것이 너를 어떻게 속였는지라는 위트있는 패러디로 불렀는데 거기에 나온 수학을 설명 해볼게용.

노래는 1:19에 시작

사례 1.

원 둘레에 n개의 점을 찍습니다. 그리고 각 점들을 연결해요.

그렇다면 원은 총 몇개의 영역으로 나뉘어질까요?

점이 두개면 2조각이 되고, 점이 3개면 4조각, 점이 4개면 8조각이 됩니다.

그렇다면 점 n개는 항상 2^n조각을 낼 것 같지만, 실제로 6개의 점은 31조각을 냅니다.

실제 공식은

인데, n에 1, 2, 3, 4, 5를 넣으면 놀랍게도 1, 2, 4, 8, 16, 즉 2의 제곱수들이 나옵니다. 하지만 6에서부터 이 패턴이 깨지게 되죠.

사례 2.

보바인 적분이라고 sin nx / nx 꼴의 곱을 적분하는 것이 있습니다. (여기서 n은 홀수)

이 값은 n이 13일 때 까지 계속 2분의 파이가 나와서 해당 패턴이 영원이 유효할 것 같지만

n이 15일 때 이 패턴이 깨지게 됩니다. 아주아주아주아주아주아주 미세한 차이로 말이죠.

실제로 이 계산식을 처음 돌려봤던 수학자들은 컴퓨터의 계산 한계라고 생각했었는데

놀랍게도, 15서부터 이 계산값은 정확했고, 패턴은 유효하지 않았던 것이죠.

사례 3.

소수 하나를 고릅니다. 이 소수를 4진법으로 쓸 거예요.

예컨대 5는 4 + 1이므로 4진법으로 표기하면 11이 됩니다. (4진법에서 10의 자리는 4, 100의 자리는 4^2 = 16, … 에 해당합니다.)

그리고 11은 다시 10진법으로 읽었을 때 소수지요.

7은 4+3이므로 4진법으로 표기하면 13인데, 역시 소수입니다.

11은 4 x 2 + 3이므로, 4진법으로 표기하면 23이 됩니다. 역시 소수군요.

이 패턴은 항상 유효할까요?

실제로 해보면 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29 까지 위 법칙이 먹혀들어가지만

31에서부터 그 법칙이 깨지게 됩니다. 31을 4진법으로 표현하면 133인데 이는 7 x 19거든요.

덕분에 다시 한번 소수는 패턴이 참으로 없다는 사실을 깨닫게 됩니다.

이렇게 우리의 기대와 다르게 행동하는 수학의 3가지 사례들을 소개해보며 글을 마쳐보겠습니다. 

하우 데이 풀 야~