완전수 이야기

초등학생때 우리는 약수라는 개념을 배웁니다. 그 수를 나누는 수를 말하지요.

예컨대 4의 약수는 1, 2, 4가 있습니다.

5의 약수는 1과 5 뿐입니다. 5가 소수이기 때문이죠.

반면 6의 약수는 1, 2, 3, 6이 있습니다.

여기서 6은 재미있는 성질을 가졌습니다. 6의 약수들 중 6을 제외한 나머지를 모두 더하면 다시 6이 된다는 성질입니다. 이를 완전수라 부릅니다.

그렇다면 그 다음 완전수로는 무엇이 있을까요?

OEIS(정수 수열 백과사전 데이터베이스)에 따르면 그 다음의 완전수로는

28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, …가 있습니다.

사실 완전수를 만들어내는 방법은 이미 잘 알려져 있습니다.

만약 이 소수라면 은 항상 완전수가 됩니다.

예컨대 n에 2를 대입하면 2^2-1은 3이 되고 이는 소수입니다. 이 공식에 따라 만들어지는 완전수는 6이 됩니다.

n에 3을 대입하면 2^3-1은 7이 되고, 역시 소수입니다. 이 공식에 따라 만들어지는 완전수는 28이 되죠.

하지만 n에 4를 대입하면 15가 됩니다. 이는 소수가 아닙니다. 그래서 이 공식으로 만들어지는 수는 완전수가 아닙니다.

꼴의 형태를 갖는 소수를 메르센 소수라고 부르는데, 위 공식에서 볼 수 있듯 메르센 소수는 완전수를 만들어내는데 중요한 재료가 됩니다.

모든 짝수인 완전수는 이렇게 메르센 소수로 만들어낼 수 있기 때문입니다.

하지만 메르센 소수가 무한히 많은지는 아직 알려져 있지 않습니다. 완전수도 마찬가지고요. 무한히 많지 않을까 추측할 뿐, 아직 이렇다할 결과는 없습니다.

또 재미있는 사실은 위 공식으로 얻어지는 완전수는 항상 짝수란 점입니다. 2의 제곱수를 곱하니 당연한 것이지요.

하지만 그렇다면 홀수인 완전수는 존재할까? 알려진 바가 없습니다.

지금까지 컴퓨터 계산을 통해 10^300 보다 작은 홀수 완전수는 없다는 사실은 알려져 있습니다.

만약 홀수 완전수 N의 소인수가 k개라면 N은 4^(4^k)보다 작아야 한다는 사실은 증명되어있습니다.

또한 홀수 완전수가 존재한다면 그들 중 가장 큰 소인수는 최소 10만보다 커야 한다는 사실도 증명되어있습니다. 두번째로 큰 소인수는 1만보다, 세번째로 큰 소인수는 100보다 커야 한답니다.

만약 홀수 완전수의 소인수가 8개라면 그들 중 하나는 5여야 한다는 사실도 밝혀졌습니다.

이렇게 마치 단단한 암반을 바늘 파듯이 천천히 그 범위를 좁혀가며 파고들고 있지만, 홀수 완전수의 존재는 아직까지 오리무중입니다.