최신 수학 뉴스: 1년차 대학원생이 정수론 난제를 해결하다.

옥스포드 대학교의 세드릭 필라테라는 대학원생이 에르되시-사르코지-소스 추측이라는 문제를 해결했다는 소식입니다.

에르되시-사르코지-소스 추측은 다음과 같습니다.

다음의 두 조건을 동시에 만족하는 자연수 집합의 부분 집합은 존재하는가?

1. 임의의 원소를 두개를 취해서 더한 값들은 모두 제각각이어야 한다.
2. 모든 ‘충분히 큰’ 자연수는 그 집합에 속한 3개의 원소의 합으로 표현할 수 있어야 한다.

일단 첫번째 조건부터 보도록 하죠. 예컨대

{1, 2, 3, 5} 라는 집합을 볼까요? 이 집합에서 임의의 원소 두개씩을 골라서 합을 취해보면 다음과 같습니다.

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

1 + 5 = 6

2 + 3 = 5

2 + 5 = 7

3 + 5 = 8

이처럼 모든 값들이 다르게 됩니다. 이건 1번 조건을 만족하는 집합입니다. 반면 {1,2,3,4} 라는 집합은 1+4=2+3이므로, 이 조건을 만족하지 않지요.

이 조건은 원소가 적을수록 유리합니다. 아무래도 원소가 많을수록, 그 두개를 취하는 경우의 수도 많아지니, 우연히 같은 값이 나올 가능성이 높아지겠죠.

또한 원소가 밀도가 낮을수록 유리합니다. 예컨대 {1, 3, 5, 8} 같이 숫자간의 간격이 적은 집합보다는 {1, 10, 100, 1000, 10000} 처럼 간격이 클수록 두 개의 합이 우연히 같을 가능성이 낮아지겠죠.

하지만 두번째 조건은 이 집합이 원소가 무한히 많아야 한다고 강요합니다. 

예컨대 {1, 2, 3, …, 100} 인 집합은, 그 원소 3개를 골라 더해도 300보다 작겠죠. ‘가장 큰 원소’가 있게 되어버리면, 그 것의 3배 크기보다 더 큰 자연수는 하나도 만들어내지 못하기 때문입니다.

(여기서 ‘충분히 큰 자연수’라는 조건이 붙는 이유는, 이 집합이 자연수 집합의 부분집합이기 때문에, 작은 수, 예컨대 1과 같은 것은 만들어낼 수 없기 때문입니다. 1은 3개의 다른 자연수의 합으로 표현이 불가능하니까요!)

또한 원소간의 간격이 좁을수록 유리합니다. 예컨대 {1,10,100,1000}이라는 집합은 어떤 3개를 골라도 100에서 999 중 111을 제외하고는 아무것도 만들어내지 못하겠죠. (아무거또 못하쥬?!)

자 이 두 개의 조건은 관련이 없어 보이지만, 사실 전혀 상반되는 조건을 요구를 합니다.

첫번째 조건은 원소가 적을수록, 그리고 숫자간의 간격이 넓을수록 유리합니다.

반면 두번째 조건은 원소가 무한히 많아야 하며, 숫자간의 간격이 좁을수록 유리합니다. 

그럼 이 두개의 조건이 동시에 성립될 수 있을까? 라는 질문이 바로 에르되시-사르코지-소스 추측이었고, 이걸 대학원생 1학년이 풀었다는 소식입니다. 

(집합을 만들어내는 방식을 봤는데 굉장히 기술적이고 복잡해서 저도 설명은 생략하겠숑)

논문 링크: https://arxiv.org/pdf/2303.09659v1.pdf

관련 기사 링크: https://www.quantamagazine.org/first-year-graduate-finds-paradoxical-number-set-20230605/