또 다른 논리문제 하나 투척

수학 유튜브 채널 MindYourDecision에서 보게된 문제인데, 흥미로운 논리 문제인 것 같아서 제 수업자료에도 설명했습니다.

“모든” 이라는 개념과 “존재한다” 라는 개념을 설명하는데 딱 인 것 같더라구요. 문제는 다음과 같습니다.

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입만 열면 거짓말을 하는 방장이 다음과 같이 말했다.

“내 모자는 모두 초록색이야!”

이 말을 통해 유추할 수 있는 사실을 모두 고르시오.

1. 방장은 모자가 적어도 1개 있다.
2. 방장은 초록색 모자가 딱 1개 있다.
3. 방장은 모자가 하나도 없다.
4. 방장은 초록색 모자가 적어도 1개 있다.

아래에 해설이 있습니다.

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해설

몇몇 상황을 가정해보죠. 방장의 옷장을 열었는데, 모자가 10개가 있고 10개 모두가 초록색이라고 가정합시다. 이 경우 방장이 선언한 명제는 참이 됩니다.

옷장을 열었는데 모자가 10개가 있고 그 중 9개는 초록색, 1개는 빨간색이라고 가정합시다. 이 경우 방장이 선언한 명제는 거짓이 되지요.

초록색이 아닌 모자가 1개 이상이라면요? 여전히 명제는 거짓이 됩니다. 10개 중 1개가 빨간색이든, 3개가 빨간색이든 10개 모두가 빨간색이든, 방장의 선언은 거짓이 됩니다. 즉 4번은 답이 될 수 없습니다.

옷장을 열었는데 모자가 딱 1개있고 그것이 초록색이라면? 이 경우 역시 방장의 명제는 참이 됩니다. 그러므로 2번도 답이 될 수 없습니다.

조금 특이한 경우를 생각해보죠. 옷장을 열었는데 모자가 하나도 없다면? 조금 의아하게 느껴질 수 있지만 이 경우 수학에서는 참이라고 여깁니다.

“아니 왜? 모자가 하나도 없는데, 모자에 대한 진술 자체가 거짓이 아니야?” 하고 반문하실 수 있습니다.

집합을 이용해 명제를 다시 이해해보죠.

“내 모자는 모두 초록색이야” 라는 말은 “방장의 모자들의 집합”이 “초록색 물건들의 집합”의 부분집합이라고 볼 수 있습니다.

하지만 애당초 모자가 하나도 없다면? 즉, “방장의 모자들의 집합”이 공집합이라면?

공집합은 모든 집합의 부분집합이므로, 역시 초록색 물건들의 집합의 부분집합입니다. 그러므로 방장의 명제는 참이 되지요. 즉 3번은 답이 될 수 없습니다.

보다시피 “내 모자들은 모두 초록색이야!”라는 명제의 부정은 “나는 초록색이 아닌 모자가 적어도 1개 있어”이 됩니다.

그리고 “초록색이 아닌 모자가 적어도 1개 있어” 는 “모자가 적어도 1개 있어”를 함의하지요. 그러므로 답은 1번이 됩니다.