엄청 쉽지만 모두가 틀리는 수학문제

그림과 같이 반지름이 1인 원이 반지름이 3인 원을 따라 돌고 있습니다. 반지름이 1인 원의 중심이 다시 제자리로 돌아왔을 때 반지름이 1인 원은 총 몇 바퀴를 돌았을까요??

만약 여러분이 3바퀴를 돈다고 답했다면 그것은 틀렸습니다! 아마 여러분들은 원의 둘레 공식이 2pi•반지름이라 답이 3이라고 생각하셨을 것입니다. 그리고 실제로 큰 원의 둘레를 잘라서 일직선으로 만든 뒤 조그만 원을 굴린다면 정확히 3번 회전할 것입니다.

중요한 것은 트랙의 모양에 따라서 실제 움직이는 거리가 달라진다는 것이죠! 아래와 같은 그림을 보면 이해가 됩니다.

이렇게 원이 움직일 때 크기가 있기 때문에 각 사각형의 꼭짓점에는 추가적인 회전이 생깁니다! 원 모양의 트랙도 똑같은데요, 원의 중심은 반지름이 4인 원을 따라 회전하므로 실제로 도는 회전 수는 4개가 됩니다.

이런 현상은 구름 운동 때문에 나타나는데요, 원이 구름 운동을 할 때 구르는 면과 맞닿는 점의 속도는 0이 됩니다! 원 자체가 v의 속도로 움직이고 또 이 원의 구성원들은 원의 중심을 따라 회전하기 때문이죠! 

너무 신기하지 않나요? 따라서 거리를 구할 때 원이 맞닿는 부분을 기준으로 하는 것이 아닌 원의 중심을 기준으로 해야 올바른 답을 구할 수 있습니다! 속도가 있어야지 (움직여야지) 거리를 구하는 것이 의미가 있으니까요! 추가로 마찰력에는 정지마찰력과 운동마찰력이 있는데 구름운동에서는 정지마찰력이 작용합니다! 신기하죠??

제가 앞에 보여드린 저 문제는 실제로 SAT (미국 수능)에 나왔다가 전원 정답 처리된 문제라고 하네요!