수학에서 열림과 닫힘이란?

수학에서, 그 중 공간에 대해 연구하는 위상수학에서는 열림(open)과 닫힘(closed)이라는 개념이 있습니다.

아주 간단하게 말해 집합이 자신의 경계를 포함하지 않으면 열려있다, 포함하면 닫혀있다고 정의하죠.

열린 집합과 닫힌 집합의 그림적 예시. 경계를 포함하지 않은 경우엔 점선으로, 포함한 경우에는 실선으로 그리곤 한다.

예컨대 1보다 크고 2보다 작은 숫자들의 집합 은 열린 집합입니다. 그 경계가 되는 1과 2를 포함하지 않기 때문입니다.

반면 1 이상 2 이하의 숫자들의 집합은 닫힌 집합이죠. 1과 2를 포함하고 있기 때문입니다.

하지만 꼭 모든 집합이 경계를 포함하냐 안 포함하냐로 나뉘어질 수 없습니다.

예컨대 1보다 크되 2 이하인 수들의 집합의 경계는 1과 2인데, 2는 포함하지만 1은 포함하지 않습니다.

즉 이처럼 열려있지도 닫혀있지도 않은 집합이 있습니다.

열려있지도 닫혀있지도 않은 집합의 그림적 예시

심지어 더욱 이상한 것은, 열려있으면서 동시에 닫혀있는 집합도 존재합니다. 이런 집합을 닫린 집합(clopen set)이라고 합니다.

숨은 명작 ‘히틀러가 위상수학을 배움’ 중에서

닫림이라는 개념은 다소 상상하기 어렵습니다만, 우리 주변에 생각보다 많은 예시들이 있습니다.

수학과 사람들만 이해하지 못하는 양면성, ‘열림 교회 닫힘’

비록 물리적인 공간에선 닫혀있지만, 우리 모두의 마음속에선 활짝 열려있는 그 공간

알맹이 없는 글 읽어주셔서 감사합니다.

다음에는 조금 더 알찬 수학 글로 돌아오겠습니다.

*열림과 닫힘 엄밀한 정의가 궁금한 이들을 위한 今週 수학도의 辯

X라는 공간을 가정하자. 여기에 거리라는 개념이 잘 정의되어 있다고 하자. x를 X라는 공간의 한 점이라고 하자. 임의의 양수 ε을 가정하자. 

x로부터 거리가 ε 미만 떨어져 있는 점들의 집합을 x의 근방이라 부르며, 이를 V_ε(x)라고 표기한다.

공간 X의 부분공간 U를 가정하자. 만약 U상의 임의의 점 u에 대해, u의 근방 V_ε(u)가 U에 온전히 포함될 수 있는 ε을 찾을 수 있다면 U를 열려있다고 정의한다.

공간 X내의 점 x를 가정하자. 임의의 ε > 0에 대해 V_ε(x) 와 U의 교집합이 x가 아닌 적어도 하나의 점을 포함한다면, x를 U의 극한점이라고 정의한다. U가 U의 극한점을 모두 포함한다면, U를 닫힌집합이라고 정의한다.