🚀궤도사령부(궤도)

차원에 관한 질문

궤도

그린정리

22.12.05

3차원 존재가 4차원 공간을 시각화할 수 있는 방법은 없나요?

시각화가 불가능하다면, 많은 노력과 공부를 통해 머릿속으로나마 이해할 수는 있나요?

2차원 존재로써 3차원을 어떻게 이해해야할지 생각해봤는데, 어떤 방식으로 해야할지를 잘 모르겠습니다

정수론민수

22.12.05

4차원 혹은 그 이상의 고차원을 머릿속에 한번에 그려내는 것은 불가능하지만, 일부분씩은 그려낼 수 있지요. 지도에서 3차원 산을 그려내는데 등고선을 사용하는 것 처럼 말입니다.

수학자들은 고차원적 대상을 많이 연구하지만, 머릿속에 고차원을 그려낼 수 있어서 하는 것은 아닙니다. 다만 수학과 논리를 이용하면 고차원에 대한 정리를 유도해낼 수 있지요.

뽁뽁이아저씨

22.12.05

우리가 3차원 박스를 비스듬하게 2차원 종이에 투사도로 그리듯이 4차원 도형도 3차원 공간에 투사도로 그릴 수 있다고 합니다. 물론 그걸 본다고 해서 머리속으로 상상해볼 수는 없겠지만요.

궤도

22.12.05

언젠가 차원론을 다뤄볼게요 :)

수학민수

22.12.05

선현들이 남겨놓은 이멀젼 이미지를(3차원에서 표현 불가능한 4차원 공간 안의 2차원 다양체를 교차를 허용하여 3차원 공간에 사영{그림자를 보는 것과 비슷한 개념}하여 국소적으로 그 구조를 드러낸 것) 보면 4차원을 어떻게 상상해야 할지 대강 감이 옵니다! 가장 간단한 예로 클라인의 병을 한 번 검색해보세요 참고로 이차원 다양체란 각각의 점에서 국소적으로

수학민수

22.12.05

평면과 비슷하게 생겨먹은 애들입니다

수학민수

22.12.05

4차 이상의 고차원 다양체는 진짜 규칙적인, 특수한 경우가 아니면 이미지화 하는 건 아예 불가능 하지만, 4차원 공간에서만 표현 가능한 곡면, 공간 같은 건 머리 속에 방 여러개를 떠올려 놓고 각각의 방에 양수, 0, 음수를 적당히 부여해 놓은 상태에서 방 번호를 4차원 축 좌표라고 생각한 뒤에 각각의 방에 부분 부분 놓여 있을 상들을 생각해보면 조금이나마 상상이 갑니다!

수학민수

22.12.05

또 그리구 이미지화하지 못한다고 해서 수학적으로 연구가 불가능한 건 아닙니다. 연구하고자 하는 대상의 성질에 관한 직관을 얼마나 쉽게 얻을 수 있는가에 관해서는 큰 차이가 나지만, 어쨌건 몇차원 다양체건 간에 위상수학이라는 분야의 도구들을 이용하여 수학적으로 분석할 수 있습니다. 관심 있으면 중등 기하->고등 기하, 미적분->집합론->대학 미적분학->선형대수학->해석학->위상수학, 미분기하학 순으로 공부해보세요 고통스럽지만은 그 끝엔 항상 경이가 있습니다!