최근에 본 재미있는 확률 문제

주사위 2개를 던졌을 때 2가 나올 확률은 1/36입니다. 반면 7이 나올 확률은 6/36 = 1/6이죠.

이렇게 각각의 확률이 다른 이유는, 주사위 각각이 1~6까지 나올 확률은 동등하지만, 

그 합이 2가 나오는 경우의 수와 7이 나오는 경우의 수가 다르기 때문입니다.

자 당신은 훌륭한 주사위 세공 장인입니다. 당신은 주사위에 철심을 교묘하게 박아넣어서 각각의 숫자가 나올 확률을 얼마든지 조정할 수 있습니다.

문제) 두 주사위를 교묘하게 조작해, 2가 나올 확률, 3이 나올 확률, …, 12가 나올 확률이 모두 동등하게 만들 수 있을까요?

정답) 불가능하다.

먼저 2~12까지 총 11개의 결과값이 있습니다. 

각각의 확률이 모두 동일하다는 것은 2가 나올 확률도, 3이 나올 확률도, 12가 나올 확률도 모두 1/11이라는 것입니다.

여기 주사위 A와 B가 있다고 가정합시다.

A 주사위가 x가 나올 확률을 A(x)라고 하고, B 주사위가 y가 나올 확률은 B(y)라고 합시다.

두 주사위의 합이 2가 나오려면, 각 주사위가 1이 나와야 합니다. 즉 2가 나올 확률은 A(1)B(1)이어야 하지요.

마찬가지로 주사위의 합이 12가 나오려면, 각 주사위가 6이 나와야 하므로, A(6)B(6)이 그 확률입니다.

반면 7이 나오는 경우의 수는, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)이 있습니다.

즉 7이 나올 확률은 A(1)B(6) + A(2)B(5) + A(3)B(4) + A(4)B(3) + A(5)B(2) + A(6)B(1)입니다. 

그리고 이 모든 확률이 각각 1/11이어야 하지요.

A(1)B(1) = 1/11 … ①

A(6)B(6) = 1/11 … ②

A(1)B(6) + A(2)B(5) + A(3)B(4) + A(4)B(3) + A(5)B(2) + A(6)B(1) = 1/11 … ③

먼저 ①번식과 ②번식을 통해 A(1), A(6), B(1), B(6)이 0이어선 안된다는 사실을 알 수 있습니다. 두 수의 곱이 1/11이려면 둘 다 0이어선 안될테니까요.

또한 확률은 항상 0 이상의 수입니다. A(x)도, B(y)도 0보다 작아질 순 없습니다.

즉 A(2)B(5) + A(3)B(4) + A(4)B(3) + A(5)B(2) 도 최소한 0이어야 합니다. 

그럼 ③번 식에서 A(2)B(5) + A(3)B(4) + A(4)B(3) + A(5)B(2)을 뺀 값, 즉 A(1)B(6) + A(6)B(1)은 1/11보다 커질 수 없습니다.

우리는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있습니다.

A(1)B(6) + A(6)B(1) ≤ 1/11 … ④

그리고 A(1)B(6)도 A(6)B(1)도 각각 0보다 크다는 사실을 아니, ④번 부등식으로부터 다음의 사실을 유도할 수 있습니다.

A(1)B(6) < 1/11 … ⑤

A(6)B(1) < 1/11 … ⑥

그럼 ①번식과 ⑤번식에서 A(1)B(6) < A(1)B(1) 이라는 사실을 유도할 수 있습니다. 양변에 A(1)을 나눠, B(6) < B(1)임을 알 수 있습니다.

반면 ②번식과 ⑥번식에서 A(6)B(1) < A(6)B(6) 이라는 사실을 유도할 수 있습니다. 양변에 A(6)을 나눠, B(1) < B(6)임을 알 수 있습니다.

자 그렇다면 B 주사위의 1이 나올 확률 B(1)과 6이 나올 확률 B(6)이, B(1) < B(6) < B(1)이라는 부등식 관계에 놓여지게 됩니다. 이는 불가능합니다.

마찬가지로 ①번식과 ⑥번식, ②번식과 ⑤번식을 이용해 A(1) < A(6) < A(1)이라는 사실도 유도할 수 있습니다.

역시 불가능합니다.

그러므로 답은 불가능!