🚀궤도사령부(궤도)

수학에 관한 질문이 있으시다면 물어보세요.

궤도

정수론민수

23.01.20

하나하나 성심성의껏 답해드립니다.

수학조아

1호침하하침순이

23.01.20

1+1=?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

2인 거시다.

뜸나쁨우먼

23.01.20

귀요미=?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

귀여운 me

IC2W

23.01.20

수식을 정성적으로 풀어쓸 수 있다고 들었는데 사실인가요? 사실이라면 어떤 방식으로 가능한 건가요?

해조료

23.01.20

뭐든 정성을 담으면 할 수 있어요!

IC2W

23.01.20

제 마음... 받아보시렵니까

@해조료

정수론민수 글쓴이

23.01.20

수식을 정성적으로 풀어 쓴다는 게 무슨 의미인지 잘 모르겠네요. 증명을 말씀하시는 건가요?

IC2W

23.01.20

친구가 수식이 무엇을 나타내는 지 언어로 풀어 쓸 수 있다, 문과는 그런 정성적 방법을 사용해야 한다 따위의 말을 한 적 있어서 어쭤봤습니다. 제가 적은 거지만 위의 질문은 이상하게 적었네요

@정수론민수

정수론민수 글쓴이

23.01.20

정량적인 수식을 정성적인 방법으로 적어낼 수 있다라는 뜻일까 하는 생각이 드는군요. 하지만 정성적/정량적은 수학적인 개념이 아니라서 잘 모르겠네요. 1+2=3이라는 식을 '1이란 값에 2라는 값을 더한 것은 3이라는 값과 동등하다'라고 쓰면 이게 정성적이라고 할 수 있나.. 그런 의문이 듭니다. 사실 수식은 수학이 아니라 물리학에서 더 자주 다루는 개념이고, 많은 수식은 물리적 현상을 구술하다보니, 각 변수, 상수들의 의미를 언급하며 수식을 물리적으로 이해하는 것은 가능하다고 생각됩니다.

IC2W

23.01.20

감사합니다. 딱히 물어볼 곳이 없었는데 횐님께서 답을 해주셨네요. 좋은 밤, 또는 낮 보내시길 바랍니다

@정수론민수

바다바다

23.01.20

1. 푸리에 변환과 2. 라플라스 변환의 오의가 각각 뭐라고 생각하시나요? 저는 푸리에는 쓸줄만 알고 라플라스는 잘 모르는 자연계학부→소프트대학원 진학자입니다. 자연과학 하던 때나 소프트웨어 하던 때나 푸리에 한방울 톡 해서 문제가 마법처럼 변하는걸 지켜보면서, 둘의 응용이나 이용이 아니라 수학적 오의에 대해 궁금해졌습니다.

바다바다

23.01.20

여기서 오의라 함은 각자가 마음가는대로 정의할 수 있는 수식의 풀어 쓴 뜻입니다.

예를들어, 같은 FT를 보고도 신호처리 FFT DFT QFT 적분변환 오일러공식 등등 떠올릴 수 있는 것과 의미가 다양하니까요.

정수론민수 글쓴이

23.01.20

저는 정수론 쪽이라서 둘을 제대로 배울 기회는 없었는데... 그냥 간단하게 아는 수준이라면, 푸리에 변환은 주기함수를 사인과 코사인의 조합으로 표현해내는 것, 즉 사인과 코사인이라는 '원자'들을 이용해서 주기함수라는 분자들을 구성하는 것이라고 알고 있습니다. 반면 라플라스 변환은 실수를 변수로 삼는 함수를 복소수를 변수로 삼는 함수로 변환해주는 것으로 알고 있습니다. 이 경우 미분방정식이 풀기 쉬워진다네요. 조금 검색해보니 라플라스 변환을 거치면 미분 연산자(d/dx)가 단순히 곱셈이 되어버리기 때문에, 복잡한 연산자 대신 간단한 산술을 사용할 수 있다는 장점이 있다고 하는군요.

바다바다

23.01.20

감사합니다. 푸리에 자꾸 잘 알지도 못하면서 컴퓨터가 해주는대로 가져다 쓰는게 답답해서 관련 이론을 찾아보던 중에 라플라스 변환이 존재한다는걸 알았습니다. 그런데 봐도 무슨 말인지 모르겠더라구요. 말씀해주신게 라플라스 변환에 대한 훌륭한 한줄요약이 되어서 제가 앞으로 다른 설명을 이해하는데 큰 도움이 될 것 같습니다.

@정수론민수

별사람

23.01.20

수학에 어떤 매력을 느끼셨나요?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

과학과 같은 대칭성이 일단 첫번째죠. 누가 실험하듯 같은 결과를 주는 과학처럼, 누가 증명하든 같은 결과를 벗어날 수 없는 수학. 그게 첫번째 매력이죠.

과학과 다른 매력은, 바로 오차가 없다는 점입니다. 더 정확한 결과를 위해 더 많은 실험이 필요한 과학과 달리, 단 한번의 증명으로 모든 것이 해결되는 매력이 있지요.

어디서든 할 수 있고, 많은 것이 필요하지 않고, 반박할 수 없는 결과를 내준다는 점에서, 다른 학문에서 느낄 수 없는 매력을 느꼈습니다.

바다바다

23.01.20

한 가지만 더 여쭤보겠습니다. 소프트웨어 연구를 하다 보면 제 논거를 공학적으로만 증명(알고리즘 효율성, 인공지능 모델의 정확도 등)하는데서 그치지 않고, 수학적 개선을 증명하고 싶을 때가 있습니다. 일부 좋은 논문들은 제시하는 모델의 수학적 우수성을 증명하는 lemma 들을 잔뜩 달고 나오기도 합니다.

문제는 이렇습니다. 제시된 이론을 공학적으로 증명하는 방법은 어렵지 않게 떠올릴 수 있습니다. 수학적 증명을 따라가면서 각 이론이 달성하고자 하는 목적(성능향상 등)에 대한 수학적 우수성을 증명하는 과정 또한 이해할 수 있습니다. 하지만 스스로 증명 과정을 만들어서 제 논문에서 제시하려면 어떤 식으로 생각해나가야 할 지 갈피가 잡히지 않습니다.

바다바다

23.01.20

수학적 가설을 제시하고 증명하는 과정을 연습하거나 배우기 위해서는 어떻게 해야 할까요?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

흠... 굉장히 어려운 질문이신데, 사실 저도 무언가를 증명하려고 할 때 어디서부터 시작해야하는지 막막한 경우가 많습니다. 제가 붙잡고 있는 명제가 참인지 거짓인지도 모르겠고, 제가 발을 디디는 한 스텝 한 스텝이 맞는지 틀린지도 불분명한 경우가 허다하죠. 사실 대부분의 제 연구는, 기존의 논문을 다시 읽어보며, 이러한 '수'는 허용되는구나, 이 방법을 살짝 틀면 이런 것도 할 수 있겠구나 깨닫는 것이 대부분입니다.

정말로 수학을 밑바닥부터 하실 목적이 아니라면, 논문을 쓰는데 필요한 정도의 수학이 필요하신 것이라면, 조금 더 수학이 강조된 다른 논문을 많이 읽으면서 그들의 문법에 익숙해지는 수 밖엔 없는 것 같습니다. 그들의 증명을 하나 하나 뜯어보며 다른 공격의 여지는 없는지, 더 나은 방법은 없는지 고민해보는 것이 가장 좋은 훈련이지 않을까 싶네요. 원론적인 이야기밖에 못드려서 죄송..

바다바다

23.01.20

죄송하다니, 아닙니다. 결국 정공법이기도 하지만, 잘 정리된 문장으로 읽는 정공법은 또 다르게 다가오지요.

맞습니다. 생각해보면 다른 소프트웨어 논문들도 수학 논문 만큼의 엄밀함을 제시하지는 않고 있었습니다. 소프트웨어에서 통용되는 트릭들을 적극적으로 사용해서 한 두 가지의 참신한 아이디어를 수학적 문법으로 적고 이어붙여 나가는 것에 가까웠습니다.

문법, 이러한 '수' 같은 단어들로 보는 방향을 잡아주셔서 감사합니다. 수학은 아주 엄밀하다고 믿고 있었기 때문에 이런 단어가 나오리라 기대하지 않았습니다. 하지만 수학 연구의 과정 또한 어떤 의미에서는 자연이나 소프트와 크게 다르지 않다는걸 알게 되어 부담과 두려움을 한결 덜고 편하게 바라볼 수 있게 되었습니다.

@정수론민수

바다바다

23.01.20

저는 자연과학은 실험을 통해 이론을 자연으로부터 긍정받거나 부정당하면서 이론을 '검사'받을 수 있다고 생각합니다. 수학은 그런 검사의 과정이 수학자들이라는 사람들에 의해서 이뤄지나요? 그렇다면 검사가 충분했음을 어떻게 합의할 수 있나요? 언제나 공격의 여지와 더 나은 방법은 항상 존재할 수 있지 않은가요?

@정수론민수

정수론민수 글쓴이

23.01.20

원론적으로야 성사된 증명은 반박되어질 수 없기 때문입니다. 수학은 참이면서 동시에 거짓인 명제가 있을 수 없도록 설계되어가고 있기 때문에... 다만 가능성은 적지만 모두가 발견하지 오류가 있을 수 있는 여지는 있지요. 그렇다면 수학은 수학자들의 인위적 약속으로 받아들여진 명제들의 총체가 아니냐고 반박할 수 있지만, 사실 그렇게 말하면 과학도 크게 다르진 않다고 생각합니다. 중력이라는 현상이 만유인력의 법칙에 따라 100% 항상 맞는다고 단언할 수 없지요. 정말 가벼운 질량, 정말 무거운 질량, 정말 가까운 거리, 정말 먼 거리 등 모든 가능성과 상황에서 실험해본 것은 아니므로. 그걸 보고 '과학자들의 인위적인 약속으로 만유인력 법칙이 정설이 되었다'고 하지 않지요. 수학도 그런 점에서는 크게 다르지 않다고 생각합니다. 저는 학문이 제각기의 방법론은 다르지만, 적어도 무엇을 보고 옳다고 할지 그르다고 할지 하는 학문 내에서 합의하는 프로토콜은 크게 다르지 않은 것 같다고 생각해요.

@바다바다

뽁뽁이아저씨

23.01.20

숫자는 인간이 발명한걸까요? 발견한걸까요?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

수는 발견, 숫자는 발명. 물리적 실체들이 모여있을 때, 이것의 양이라는 개념은 발견되어질 수 있는 개념이고, 그것을 이해하기 위해 기호로서 표기한 것은 발명이지요. 저는 그렇게 생각해요, 물론 이견이 있을 수는 있습니다.

뽁뽁이아저씨

23.01.20

그러고보니 수와 숫자도 구분되는군요. 저도 비슷하게 생각했는데 친구들은 수도 지성이 있는 존재가 고안해낸 개념이라고 보더라구요.

@정수론민수

궤소리방정식

23.01.20

정수론 분야의 최신 트렌드나 프론티어 문제? 등을 학부생 수준으로 설명해주세요. 궁금합니다

정수론민수 글쓴이

23.01.20

사실 워낙에 많아서... 쉽게 하나 선정하기 어려운데, 제 개인적인 관심에 기반해 말씀드리지요. 타원곡선은 y^2 = x^3+Ax+B라는 형태를 만족하는 식을 말하고, 주로 E라고 표기합니다. 이 때 A,B가 모두 유리수라면 E가 Q에서 정의되어 있다고 합니다. 임의의 타원곡선은 선형변환을 통해서 A와 B가 정수가 되도록 정의할 수 있습니다.

타원곡선이 주어졌을 때 그것을 만족하는 유리수 해들을 모아봅시다. 이를 E(Q)라고 표기합니다. 그런데 짜잔! E(Q)는 finitely generated abelian group입니다. Fundamental theorem of finitely generated abelian group에 따라서 E(Q)는 Z^r x T의 꼴로 표기가 가능합니다. (T는 꼬임부분군 torsion subgroup). T의 구조는 Mazur라는 수학자에 의해 완전히 판별되었습니다. T는 Z/mZ 혹은 Z/2Z x Z/nZ꼴이라, 2개의 generator면 충분합니다. 즉 임의의 타원곡선 E의 모든 유리수 해를 판별하는데 필요한 generator의 개수는 최대 r+2개입니다.

이 때 소수 p를 골라서 y^2 = x^3+Ax+B라는 식을 (mod p)로 볼 수 있습니다. 이를 E의 mod p reduction이라고 하고, E_p라고 표기합니다. E_p라는 식을 만족하는 해들의 집합을 E_p(F_p)라고 하는데 E(Q)처럼 역시 finitely generated abelian group입니다. 더 나은 점은 E_p(F_p)의 generator는 최대 2개입니다. 게다가 E(Q)보다 계산도 훨씬 간편하지요.

여기서 다음과 같은 질문을 떠올릴 수 있습니다. E_p(F_p)의 generator 개수는 1개거나 2개다. 이들의 비율은 얼마일까? E_p(F_p)의 generator가 1개, 즉 cyclic group이라면, 이러한 소수 p를 prime of cyclic reduction for E라고 부릅니다. 타원곡선 E가 주어졌을 때, 언제 prime of cyclic reduction이 무한히 많은지, 그 밀도는 얼마인지는 아직 밝혀지지 않았습니다. 일반화된 리만 가설을 상정하면 알 수 있지만, 아무런 조건없이는 아직 알려지지 않았습니다. 그게 제 주 관심분야입니다.

궤소리방정식

23.01.20

리만가설을 상정하지 않았을때 그 비율에 대해선 아무것도 밝혀진 것이 없나요? 혹은 조금이라도 수학자들이 알아낸게 있나요?

@정수론민수

정수론민수 글쓴이

23.01.20

complex multiplication, 소위 CM이라는 성질(End(E)가 Z보다 큰 E들)을 만족하는 타원 곡선들에 대해서는 그 밀도가 밝혀졌고, 그 밀도는 일반화된 리만 가설을 상정했을 때의 값과 일치합니다. 하지만 거의 대부분의 타원 곡선이 CM을 만족하지 않지요.

@궤소리방정식

잉어와붕어

23.01.20

정수론에서 가장 중요하게 생각하는 성질들은 뭐가 있나요?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

정수론의 핵심 가치는... 글쎄요 이산성이라고 해야할까요? 연속적이지 않은 것을 이산성이라고 합니다. 실수는 모두 연속되어 있지만, 정수는 모두 띄엄띄엄 떨어져 있지요. 하지만 그런 이산적인 것으로도 실수를 만들어낼 수 있고, 더 나아가 수학의 많은 연속적인 것들을 이해할 수 있습니다. 셀 수 없는 것을 셀 수 있게 하는 힘이 정수가 가진 힘이지요.

폰예스이만

23.01.20

수학은 왜 이렇게 어려운 걸까요 흑흑

정수론민수 글쓴이

23.01.20

흑흑 박사 5년차인 나한테두 어려우니까 힘내라구..!

오목오목

23.01.20

최근 필즈상 수상자는 어떤 것으로 받았나요?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

음... 4명인데, 간략하게 요약하면 허준이는 대수기하학과 조합론 사이에 놓여진 난제들을 여럿 해결했고, 제임스 메이너드는 소수에 관한 연구를 많이 해온 걸로 유명합니다. 위고 뒤미닐코팽은 확률론 쪽에 업적을 세운 걸로 알고 있고, 마리아 비아조브스카는 원래는 정수론쪽을 하시는 분인데, 수상은 기하학 관련된 난제를 해결해서 받은 걸로 알고 있어요. 고차원에서 구를 어떻게 하면 가장 효율적으로 쌓을 수 있는가에 관한.

절대햄탈해

23.01.20

오일러 무친자 너무 존경함 개쩌러

정수론민수 글쓴이

23.01.20

오일러.. 많이 사랑하시죠? 18세기에 출간된 모든 과학/수학 논문 중 약 25%를 혼자 썼다는 레전드...

절대햄탈해

23.01.20

진짜 고트 욀러

@정수론민수

우주간첩주펄

23.01.20

인공지능을 공부하면서 텐서가 자주보이는데 Friedberg선형대수 이후로 텐서를 공부할만한 좋은 material 있을까요

정수론민수 글쓴이

23.01.20

텐서라는 것이 tensor를 말하는 건가요 tensor product를 말하는 건가요? 저는 응용 수학쪽은 전혀 몰라서 전자에 대해서는 아는 바가 없군요... 후자라면 commutative algebra 책을 추천합니다. Dummit and Foote algebra에서 ring theory/vector space theory 쪽을 충분히 하셨다면, Atiyah and Mcdonalds의 an introduction to commutative algebra 정도면 좋은 레퍼런스 일 듯 합니다.

우주간첩주펄

23.01.20

네 multilinear transformation 으로써의 텐서를 말씀드렸습니당

@정수론민수

깜장콩

23.01.20

수포자였던 비전공자가 독학으로 수학 공부 가능한가요? -예비2차수포자-

정수론민수 글쓴이

23.01.20

네, 물론이죠. 취미를 위해서 공부하시는 거라면 조금 더 편한 마음가짐으로 공부하셔도 좋아요. '어떻게든 이해해야지'하는 결단보단, '내가 이런걸 재밌어하네' 하는 발견으로 독학하기를 추천합니다. 어차피 이해 못해도 혼낼 사람도 없고, 시험 보는 것도 아니잖아요? 때론 다른 걸 먼저 이해하고 돌아왔을 때 이해가 되는 경우도 종종 있으니, 너무 스트레스 받지 마시길

깜장콩

23.01.20

...완전 핫팩민수잖슴🥹

@정수론민수

가짜공돌이

23.01.20

학창시절 수포자 문과로 역학 찍먹 중인데 슬슬 인테그랄과 삼각함수가 나와 머리가 깨지고 있습니다. 혹시 적분에 대한 간단한 예시가 있을까요? 감사합니다...

정수론민수 글쓴이

23.01.20

적분에 대한 예시라... 거리 = 시간 x 속도이라는 공식이 있지요. 60km/h로 2시간동안 꾸준히 달리면 총 120km를 이동하는 것이지요. 하지만 이 공식의 단점은 속도가 일정해야 한다는 점이 있습니다. 실제로 운전하면 빨라졌다가, 느려졌다가 하는 등 등속도 60km/h를 맞추고 운전하기엔 어렵습니다. 사실 자연상에서 이처럼 등속도로 운동하는 물체는 보기 어렵지요. 하지만, 속도에 대한 완전한 데이터, 예컨대 1초때의 속도, 2초때의 속도 해서 전체의 속도에 대한 데이터가 있다면, 이를 그래프로 그릴 수 있습니다. x축은 시간, y축은 속도라는 그래프를요. 이 때 이 그래프가 덮고 있는 면적이 바로 거리입니다. 만약 등속도로 움직인다면 이 그래프는 평평한 상수함수 그래프가 될 것이고, 면적은 직사각형이니, 속도 x 시간 이라는 공식으로 충분합니다. 하지만 대부분의 그래프는 평평한 그래프가 아니고, 그것의 면적을 알기 위해서는 적분이라는 테크닉이 필요하지요. 이것이 속도의 (시간에 대한) 적분값이 이동 거리인 이유입니다.

가짜공돌이

23.01.20

상세한 설명 감사합니다. 속이 뻥 뚫렸습니다 헤헤

@정수론민수

오목오목

23.01.20

수학과에서 바둑 체스 오목 같은 보드게임에 대한 수학적인 부분도 다루나요?

정수론민수 글쓴이

23.01.20

그런 것들을 수학적인 방법으로 연구해볼 여지는 있지만, 일반적으로 수학과 커리큘럼에서 다뤄지거나 하진 않습니다.

오목오목

23.01.20