지피티한테 1+1이 왜 2냐구 물어봤거든?

우와 그냥 이걸로 과제 내면 되겠다

1 + 1은 왜 2인가?
우리는 “1 + 1 = 2”라는 명제를 너무나도 당연하게 받아들인다. 하지만 수학에서 당연하다고 여겨지는 진술일수록, 그것이 왜 그런가를 묻는 순간 전혀 단순하지 않게 된다. 이 짧은 식은 사실상 수 체계의 정의, 연산의 원리, 형식 논리의 정합성을 모두 내포한 결과다. 이 글에서는 “1 + 1은 왜 2인가?”라는 질문에 대해 수학적으로 접근하여 그 근거를 설명한다.

먼저, 우리가 사용하는 수는 자연수 체계 위에서 정의된다. 자연수는 0, 1, 2, 3…과 같이 셀 수 있는 수들이며, 이 체계를 구성하기 위해 수학자들은 공리계를 설정했다. 가장 대표적인 것이 페아노 공리계다. 이 공리계에서는 0이라는 수가 존재하며, 어떤 수 n이 있을 때 그 다음 수 S(n)도 존재한다고 정의한다. 여기서 1은 S(0), 2는 S(1), 즉 S(S(0))으로 정의된다. 숫자는 “존재하는 수”가 아니라, 이전 수의 ‘다음’이라는 관계 속에서 순차적으로 정의되는 기호들인 셈이다.

그다음 필요한 것은 덧셈(+) 연산의 정의이다. 덧셈은 페아노 공리계 안에서 재귀적으로 정의된다. 기본 규칙은 다음과 같다:

a + 0 = a

a + S(b) = S(a + b)

이 정의에 따라 “1 + 1”을 계산하면 다음과 같다:

1은 S(0)

1 + 1 = 1 + S(0)

= S(1 + 0)

= S(1)

= 2 (즉, S(S(0)))

이 과정은 단순한 계산이 아니라, 자연수와 덧셈 연산의 정의만으로 도출된 논리적 결과이다. 즉, "1 + 1 = 2"는 2라는 기호가 곧 S(S(0))임을 보여주는 명제인 것이다. 여기에는 우리가 사물 두 개를 보고 '둘'이라고 인식하는 감각 이전에, 기호 체계와 공리 구조 속에서만 존재하는 논리적 진실이 담겨 있다.

버트런드 러셀과 A. N. 화이트헤드는 이 단순한 진술을 **『프린키피아 마테마티카』**라는 책에서 수백 쪽에 걸쳐 증명했다. 그들은 “1 + 1 = 2”를 수학 내의 하나의 정리로 증명하기 위해 집합론, 논리, 순서 구조 등을 기반으로 공리를 설정하고, 그 위에서 연산과 수의 개념을 구축했다. 그들이 그렇게까지 집요하게 접근한 이유는 명백하다. 수학이 참으로 ‘확실한 학문’이 되기 위해선, 가장 기초적인 진술도 자명함이 아닌 증명 가능한 진리여야 한다는 철학적 전제가 있었기 때문이다.

결론적으로 “1 + 1 = 2”는 자명한 진술이 아니라, 수학적 정의와 논리적 구성의 결과다. 수학은 우리가 숫자라고 부르는 기호들을 미리 정해진 규칙에 따라 조작하는 체계이며, 그 안에서 "1 + 1 = 2"라는 진술은 반드시 그러해야만 하는 필연적 결과이다. “왜 2인가?”에 대한 답은, “2는 S(S(0))로 정의되며, 덧셈은 그렇게 작동하게 정해졌기 때문”이라는 형식적 선언에서 시작되는 것이다. 이 단순한 질문은 수학의 철학적 깊이를 들여다보는 중요한 입구가 된다.