수학자들의 광기, 함수를 0.5번 미분할 수도 있다?!

어제 정승제 생선님께서 나오셔서 미분에 대해 강의하셨죠?

덕분에 우리 침착한 병건학생도 함수의 도함수에 대해 구하는 방법을 알게 되었어요.

강의에 집중한 다른 침청자 학생들도 이제 스스로 도함수를 구할 수 있게 되었죠?

이렇듯, 주어진 함수의 도함수를 구하는 과정을 미분이라고 합니다.

물론 도함수를 또 한번 미분할 수 있지요. 이것을 이계도함수라고 합니다. 함수를 n번 미분하면 n계도함수가 나오는 것이지요.

이렇듯 미분은 한번, 두번, 세번, 이렇게만 가능합니다… 아니, 꼭 그래야만 할까요?

요로코롬 미분을 0.5번만 하는 건 불가능할까요? (가짜광기)

이 아이디어는 17세기 후반, 미적분이 막 태동했을 무렵, 두 수학자의 서신에서 처음 등장합니다.

바로 로피탈의 정리로 유명한 로피탈과, 미적분의 또다른 아버지로 잘 알려진 라이프니츠의 편지에서 말이죠.

아주 간략하게 아이디어를 요약하면 다음과 같습니다.

1. 함수를 한번 미분하면 x의 차수는 1이 줄어든다. 함수를 반번 미분한다면 x의 차수는 0.5 줄어들어야 할 꺼시다~
2. ½+½=1이므로, 함수를 ½번 미분하고 또 ½번 미분하면 1번 미분한 것과 같은 값이 나와야 할 꺼시다~

1823년 수학자 아벨 (아벨탐험대 아님)에 의해 ‘분수번 미분법’이 정립됩니다. 굳이 ½번이 아니라 ⅓, ¼번의 미분도, p/q꼴의 미분도 정의할 수 있게 되었죠.

정의는 복잡해서 생략하겠습니다만, 예를 들어 x를 반번만 미분하면 요래 된답니다.

자 이렇게 유리수번 미분이 가능케 되었습니다…. 과연 끝일까요?

그게 아니죠~! 유리수도 했으면 무리수도 해야죠! (중간광기)

아벨은 무리수번 미분의 아이디어도 제시합니다. 수학자 리우빌도 독립적으로 무리수번 미분의 토대를 다지고 아이디어를 제시하지요.

이로써 r이 어떤 실수든 함수를 r번 미분하는 것이 가능하게 되었습니다… 과연 끝일까요?

그게 아니죠~!! 실수도 했으면 혀수도 해야죠! (진짜 광기) 

1971년 수학자 에릭 러브에 의해 함수의 ‘허수번 미분법’이 정립됩니다.

이로 하여금 s가 자연수든 정수든 유리수든 무리수든 실수든 허수든 복소수든, 함수를 s번 미분하는 방법이 정립되었답니다…

과연 끝일까요? (사실 끝임)