방장이 궁금해하던 미분의 실제 적용 사례

어제 정승제님과의 합방 너무 재미있게 잘 보았습니다.

매일 미적분을 하고 사는 사람이지만 오랜만에 함수와 극한에서 미분의 정의로 발전되어가는 과정을 지켜보니 재미나더라구요.

다만 강의 중 방장도 채팅창도 중간 중간 수학이 아닌 실제 적용사례에 대해 궁금해 하는 모습을 많이 보였지만

아무래도 수학수업이다보니 그 부분에 대해서는 최대한 언급을 자제하는 듯 하여 어제 수업 내용 중 고등학교 범위 내에서 접할법한 (아닌 것도 있음) 사례에 대한 이야기를 조금 해볼까 합니다.

2:40:58 

함수의 극한값이 존재하기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 한다고 말씀하실 때, 그렇지 않은 경우도 있나요? 라고 물으시며 함수의 불연속에 대한 개념을 소개하는 장면이 나옵니다.

중학교쯤 배우는 개념중에 정지마찰력/운동마찰력 이라는 개념이 있는데

물체가 정지되어 있을 때 이것을 밀어서 움직이려고 하면 바닥과의 마찰 때문에

움직이기 시작하는 것을 방해하는 마찰력이 실제 물체가 움직이기 시작한 뒤 미는 것을 방해하는 마찰력보다 작다는 개념에 대한 내용입니다.

물체가 움직이기 직전까지의 마찰력은 미는 힘과 같은 크기로 점차 커지다가, 미는 힘이 ‘최대 정지 마찰력’에 도달하면

물체가 움직이기 시작하고 이 후에는 운동 마찰력이 적용되는 것이죠.

위 그림을 보시면 정지해있던 마지막 순간에는 채워진 동글뱅이가, 움직이기 시작한 후로는 빈 동글뱅이가 있는데, 라이브를 보신 분들은 저게 무슨 의미인지 아시리라 생각합니다.

이 외에도 생각보다 많은 자연현상이 불연속을 가지고 있습니다. 특정 임계값을 기준으로하는 불연속은 물입자의 온도에 따른 상변화를 생각할 때 얼음 → 물 → 수증기의 변화를 생각하면 좋을 것 같습니다. 사실 갑자기 불이 나는 경우 주변의 온도나, 비가 오는 곳의 강수량, 뭔가 스위치의 온오프 등 어떤 사건이 시작되거나 하는 경우엔 영향을 받는 무언가는 대부분 불연속성을 띌 수 있겠죠.

1:06:40

시간을 조금 되돌려서 미분계수를 소개하시는 장면으로 가보았을 때

한 시간 동안 시청자수의 평균 변화율, 정승제님의 피자 에피소드를 소개하는 순간의 순간 변화율에 대한 차이를 설명하고 미분계수라는 것은 순간변화율을 나타낸다 라는 이야기를 합니다.

사실 이렇게 실생활 적용에 적절한 사례를 들어주셨음에도 더 이상의 소개는 없으셨는데 사실 저 개념이 미분의 모든 것이라 생각됩니다.

모든 것들의 변화율

4:03:53

방장의 ‘근데 이걸 알면 어디다 쓸 수 있어요?’라는 질문에 대해 미적분을 개발한 뉴턴과 라이프니츠에 대한 사례를 소개해 주시며 언급한 부분인데

모든것들의 변화율을 알면 그것의 원래 모습을 알 수 있다고 말씀하시는 부분입니다.

내 수입과 지출을 모두 알게 되면 내 통장의 잔액을 구할 수 있듯,

운전을 할 때 내 순간 순간의 속력을 모두 알게 되면 차가 이동한 거리를 알 수 있듯,

출산율과 사망율을 (+실종율?) 통해 인구를 계산할 수 있는 것과 같은 개념이라 생각하시면 됩니다.

사실 내 통장의 잔액, 차가 이동한 거리의 시간 변화, 인구수의 변화를 가지고 그때 그때의 수입/지출, 순간속력, 출산/사망율을 구하는 과정이 미분이고, 위의 개념은 적분이라 생각하는게 맞습니다.

F=ma 라는 뉴턴의 제2법칙을 많이 들어보셨을 것이라 생각하는데, F = 물체에 적용되는 모든 힘, m = 물체의 질량, a = 물체의 가속도로 정의 됩니다.

사실 F=ma라는 표현이 우리에겐 익숙하지만 실제 과학/공학 분야에서 사용이 될 때는 좌우가 바뀌어 ma = F 혹은 a = 1/m(F) 로 많이 쓰이게 됩니다.

그 이유는 가속도 a는 알고싶은 대상의 속도의 시간변화, 즉 속도의 미분이며, F는 이 속도를 변화시키는 모든 힘의 합을 나타내기 때문이죠.

이러한 개념은 정말 정말 모든 곳에 쓰이고 있습니다.

그냥 알고싶은 것의 변화량 = 알고싶은것에 영향을 주는 것의 영향의 합계입니다.

실제 실험을 했는지의 여부와는 관계없이 매우 유명한 갈릴레이의 자유낙하 실험을 생각 했을 때

진공상태를 고려하면

ma = 공에 가해지는 모든 힘 = 중력 = mg → 가속도 = 속도의 순간변화율 = g ~ 9.8 m s^-2 입니다. (g = 중력가속도)

정승제님의 수업에서 배웠던 개념을 생각해보면?

수업과의 연속성을 생각하여 공이 떨어진 거리를 y,  x는 시간이라고 할 때

편의상 y = a 곱하기 x^2 이라고 하고 (a는 임의의 수), 시간이 1초 지났을 때 공의 속도는? 이라는 문제가 있다고 하면

속도는 거리의 시간에 따른 변화량이므로 y의 x = 1에서의 미분계수라고 할 수 있습니다.

수업에서 배운 내용을 적용하면 a 곱하기 2, 2a가 되겠죠.

수업 시간 마지막에 잠시 배운 도함수를 생각해보면 x^2의 도함수가 2x 였으므로 사실 속도의 공식은 y' = 2ax 입니다 (x에 대한 직선함수).

이 공식에 x = 1을 대입해도 속도 y' = 2a임을 알 수 있죠.

조금 더 나아가서 속도 y' 의 도함수를 한 번 더 구하면 2a 입니다. 시간에 대한 함수가 아닌 고정된 수(상수)라고 볼 수 있습니다.

사실 y'의 도함수는 공의 속도의 시간변화율, 즉 가속도 입니다. 위의 자유낙하 실험에서 가속도는 g 임을 알고 있기 때문에 사실 a의 값은 g/2 ~ 4.9 m s^-2임을 알 수가 있게 됩니다.

사실 강의에서 나왔듯, 뉴턴은 미분을 알게 되면 무언가의 원래 모습을 알 수 있다고 언급했는데, 위 문제에 적분을 사용하면 (미분의 역순 + α),

(진공상태에서) 물체에 가해지는 힘이 중력뿐일 때, 가속도 = g를 가지고, 속도는 g * 시간 + 초기속도 (gx + v0), 거리는 g/2 * 시간^2 + 초기속도 * 시간 + 처음 위치 (g/2*x^2 + v0*x + y0)라는 것 까지 알 수 있게 되는거죠 (초기속도 = v0, 처음위치 = y0).

물론 가속도 자체가 시간에 따라 변하는 경우 (내비가 운전하는 차의 속도와 거리, 남은 시간을 구하는 문제처럼) 라거나

세상이 그리 간단한 것이 아니므로 ma = mg 외에 공기저항, 주변의 바람, 공의 회전에의한 영향, 나아가 지구의 회전이나 달이나 태양과의 중력 등등 많은 요소를 넣을 수 있을 것입니다.

아까 인구수의 변화량 = 출생수 - 사망수을 통해 인구수를 구하는 방식도 마찬가지 과정을 거치게 됩니다.

이 문제도 실제 사례에 적용하면 어디에 사는지, 생활수준이 어떤지, 질병에 대한 영향은 어느 정도인지 등등 많은 요소가 있을테고, 그 영향을 알고 싶으면 이를 수식으로 표현하는 방법을 찾아 우항에 집어 넣기만 하면 됩니다. 참… 쉽…ㅈ?… 아닌가

예를 들어 플레이타임에 따른 침착맨의 포켓로그 최대 달성레벨을 알고 싶은 경우를 생각해보죠.

그럼 일단 침착맨의 포켓로그 달성레벨에 영향을 줄 수 있는 요소를 쭉 생각해 봅니다.

긍정적인 영향을 줄 수 있는 요소 (P) 에는 숙련도, 파티의 총 종족값, 재화량, 좋은 아이템 소지수 등등이 있을것이고

부정적인 영향을 줄 수 있는 요소 (N) 에는 피로도, 개청자들의 방해, 방장의 고집과 심술 실수 등등이 있을 수 있겠죠.

그렇다면 달성레벨의 변화량 y' = P - N 이 되며, 이를 가지고 y를 구할 수가 있게 됩니다.

이 때 숙련도, 피로도, 종족값, 재화량, 아이템 소지 등은 시간에 따라 변화할 것이며

개청자들의 방해, 고집 심술은 인간의 의지가 들어가있어 함수로 표현하는 것이 쉽지 않을 것입니다.

좋은 아이템 소지수도 따지고보면 위에 언급된 숙련도, 재화량에 영향을 받을 것이며 방장의 운에도 영향을 받을 것이므로 복잡히 얽혀있겠죠.

사실 이런 이유 등으로 주가예측 모델처럼 인간의 의지가 영향을 주는 변수를 예측하는 모델을 만드는게 어렵다고 하더라구요.

뭐 아무튼 어딘가에서 들어봤을 뉴턴의 방정식 (제2법칙), 열역학 방정식, 맥스웰 방정식, 나비에-스토크스 방정식, 심지어 E = mc^2로 알려진 아인슈타인의 방정식 모두 위와 같이 '알고싶은 변수의 변화율 = 영향을 주는 요소의 합' 형식을 띄고 있습니다.

사실 이 글에서 주로 소개드린 무언가의 변화량에 영향을 주는 요소를 통해 무언가의 원래 모습을 찾아가는 문제는 ‘미분 방정식'이라는 것을 푸는 과정으로 단순한 미분 적분의 다음 개념이기는 합니다.

물론 도함수의 성질 (최댓/최솟값 찾기, 곡률 및 변곡점 찾기 등)을 활용해 어떤 변수의 분포/시간변화 등의 특성을 조사하는 응용도 많이 있지만 결국 현재 과학/공학적으로 많이 사용되는 활용은 저러한 활용인 것 같습니다.

방송보며 논문쓰다 생각나서 적느라 다소 두서가 없지만 읽어주신 분들께 헛된 시간이 되지 않으셨길 바랍니다.

메롱