수학 기호 ∀, ∃, ￢ 를 알아보자!

수학 논문이나 교과서를 보면 왠걸 숫자는 없고 이상한 기호들만이 넘쳐나죠.

오늘은 수학자들이 자주 사용하는 기호들을 모아 한번 설명해보도록 하겠습니다.

가장 먼저 ∈가 있습니다. 이는 ~에 포함되어있다 라는 뜻이지요.

주로 수학에서 N은 자연수 집합을 의미합니다. (정확히는 ℕ자를 사용합니다만, 여기서는 편의상 N이라고 쓸게요)

예컨대 1 ∈ N이라 하면, 엄밀히 말하면 1은 자연수 집합에 포함되어있다는 뜻입니다. 쉽게 말해 1은 자연수라는 의미지요.

반면 0 ∉ N은 0은 자연수가 아니다라는 뜻입니다. 0이 자연수인지 아닌지에 대해서는 수학자들도 제각기 의견이 다릅니다만, 여기서는 아니라고 할게용

∀ (거꾸로 된 A자) ‘모든’ 이라는 뜻입니다. 영어로는 For all 이라고 읽고, 기호 자체는 universal quantifier라고 부르죠.

다음의 문장을 살펴볼까요?

∀x ∈ N, x > 0

수학이 대부분 유럽권에서 기반했기 때문에 수학 문장은 사실 한국어로 읽는 것보다 영어로 읽었을 때 더 쉽게 이해가 됩니다.

For all x in N, x > 0.

N에 포함된 모든 원소 x에 대해서, x는 0보다 크다가 됩니다. 쉽게 풀어쓰면 모든 자연수는 0보다 크다가 됩니다.

재밌는건, ∀x ∈ N 파트를 x > 0보다 뒤에 써도 괜찮습니다. x > 0 ∀x ∈ N 처럼 말이죠.

다만 이렇게 되면 한국어로 읽을 때는 조금 이상한 문장이 됩니다. x는 0보다 크다, N에 포함된 모든 x에 대해서.

하지만 영어로 읽으면 크게 이상하지 않습니다. x > 0 for all x in N.

다음 기호를 볼까요? ∃ (뒤집힌 E자)는 ‘존재한다’라는 뜻입니다. 영어로는 There exists 라고 읽고, 기호 자체는 existential quantifier라고 부릅니다.

이제 ∀와 ∃를 이용해 조금 더 복잡한 문장도 해석이 가능해집니다.

∀x ∈ N, ∃y ∈ N, x < y 이 문장도 한번 영어로 읽어보죠.

For all x in N, there exists y in N, x < y.

역시 한국어로 직독직해하면 문장이 조금 어색하게 느껴집니다.

모든 자연수 x에 대해서 자연수 y가 존재한다. x < y.

조금 더 매끄럽게 풀어쓰면 다음처럼 쓸 수 있지요. ‘x가 어떤 자연수든, x < y를 만족하는 자연수 y가 존재한다.’ 쉽게 말해 어떤 자연수든 그보다 더 큰 자연수가 존재한다는 뜻입니다.

존재한다라는 말이 동사고, 한국어는 필연적으로 동사가 가장 마지막에 뒤따라오기 때문에, 어쩔 수 없이 문장의 순서를 바꿔줄 수 밖에 없습니다.

수학을 공부할 때 영어로 공부하는 것을 추천하는 이유가 바로 이 때문이죠. 수학은 하나의 언어인데, 이 언어가 서양의 수학자들의 논리 체계에 맞춰 발전해왔기 때문에, 영어로 읽는 편이 한국어로 읽는 편보다 더욱 직관적입니다.

다음으로 볼 기호는￢입니다. 영어로는 Not이라고 읽죠. 기호 자체는 negation이라고 부릅니다. 다음의 문장을 부정한다는 뜻이지요.

예컨대 ￢ (0 ∈ N)는 0은 자연수가 아니다라는 뜻입니다.

대개 ￢ 기호는 어디서부터 어디까지가 부정되는지를 한정해줘야하기 때문에 괄호와 같이 쓰곤 합니다.

사실 이 세 기호 ∀, ∃,￢ 는 수학 논리를 펼치는데 가장 중요한 근간이라고 할 수 있습니다. 이 셋은 아주 긴밀한 관계로 연결되어 있거든요.

예컨대 다음의 문장을 가정해봅시다. ‘모든 사람은 3m보다 작다’ 이 문장이 틀렸다라는 것을 보이려면 어떻게 해야 할까요? 바로 3m 이상인 사람을 ‘적어도 하나 찾아내면’ 됩니다. 

3m 이상인 사람이 2명이든 3명이든 100명이든 10000명이든은 중요하지 않습니다. 1명만이라도 찾아내면, ‘모든 사람은 3m보다 작다’라는 문장이 틀린 셈이 되지요.

반대로 ‘3m 이상인 사람이 존재한다’라는 문장의 부정은 ‘모든 사람은 3m보다 작다’임을 보이면 됩니다. 즉 ∀와 ∃는 사실 부정의 관계입니다.

모든 인류의 집합을 H로, x라는 사람의 키를 h(x)라고 (단위는 미터로) 표현해보죠. 그러면 모든 사람은 3m보다 작다는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

∀ x ∈ H, h(x) < 3.

이 문장의 부정은 다음과 같습니다.

∃ x ∈ H, h(x) ≥ 3.

그러므로 다음과 같이 요약할 수 있겠군요.

￢ (∀ x ∈ H, h(x) < 3) ⇔ ∃ x ∈ H, h(x) ≥ 3.

(여기서 ⇔는 다음의 두 문장은 동치다, 사실상 같은 것이다, 라는 의미입니다.)

오늘 소개한 기호들 ∈, ∀, ∃, ￢, ⇔로 노트필기를 간단하게 줄여보세요~!